Représentation graphique


Puisque les deux coefficients dépendent de l’angle d’incidence, il existe une représentation graphique, appelée polaire de l’aile (figure 20), qui consiste à placer CX en abscisse et CZ en ordonnée. Chaque point de la courbe est donc calculé à un angle d’incidence donné. Les premiers tracés de ce genre ont été réalisés par Otto Lilienthal (voir l'historique) et Gustave Eiffel. Cette courbe a comme avantage de présenter quatre points remarquables, les trois que nous avons vus avec les figures 15 et 16, et un point supplémentaire, qui est le point de finesse maximum.

 

Figure 20 – Polaire d’une aile et ses quatre points remarquables

 

 

Il est important de comprendre que les points M de la courbe, partant de M1 et en suivant la courbe, sont obtenus à des angles d’incidences croissants (i1<i2 …<i4..). 

Les points remarquables de la polaire sont donc les suivants :

 

  1. Point M1 : obtenu à un angle i1 pour lequel la portance est nulle (CZ =0) 
  2. Point M2 : obtenu à un angle i2 pour lequel la traînée est minimum (on peut aussi pivoter la figure et mettre CX en ordonnée pour s’en convaincre…) 
  3. Point M3 : obtenu à un angle i3 pour lequel la finesse est maximum 
  4. Point M4 : obtenu à un angle i4 pour lequel la portance est maximale. C’est l’angle limite au-delà duquel il y a décrochage (chute de la portance)

 

Revenons sur le point M3. On voit sur la figure 20 que c’est le point où l’angle ϕ (entre Ox et OM) est maximum. Or, en tout point M(ϕ), on a la relation :

 

tan ϕ = CZ/CX

Equation de la finesse d'une aile

L’équation (3) définissant la finesse d’une aile donne : 

 

f = RZ/RX

 

Et compte tenu des équations (4) et (4’) définissant les coefficients de portance et de traînée, on a :

 

f = RZ/RX = CZ/CX

Ainsi :

 f = RZ/RX = CZ/CX = tan ϕ    (5)

 

La fonction tangente étant croissante, l’angle ϕ maximum correspond donc à tan ϕ maximum et donc à la finesse maximum.

Nous pouvons nous interroger sur le terme de polaire. Nous savons que les cordonnées polaires sont telles qu’un point M est alors représenté par son angle ϕ (celui de la figure 20) et la longueur r = OM.

 

Sur la figure 20 : 

 

r2 = CX2 + CZ2 = (RX2 + RZ2)/ (½ ρ V2 S)2

 

On a défini ici la résultante aérodynamique Ra. Comme on peut le voir en figure 3, on a :

Ra2 = RX2 + RZ2

D’où : 

 

r = Ra / (½ ρ V2 S)

Avec ½ ρ V2 S qui est une force, indépendante de l’incidence.

Sur la polaire, la longueur r = OM est donc, à un facteur multiplicatif près, la norme de la résultante aérodynamique Ra.

L’angle ϕ de la polaire


L’angle ϕ de la polaire, défini dans l’équation (5), est donc aussi l’angle ϕ entre la résultante 
Ra 
et la direction de la force de traînée (direction de la vitesse), comme le montre la figure 21.

Quand cet angle augmente, la portance augmente vis-à-vis de la traînée qui décroît. La finesse (qui est la tangente du rapport) s’accroît.

 

Figure 21 – Résultante aérodynamique et angle ϕ

 

Importance du nombre de Reynolds


Nous avons compris le principe de la polaire comme moyen de connaître les performances d’une aile en fonction de l’angle d’incidence. La question est de savoir s’il existe une polaire unique pour chaque aile. La réponse que fournit la physique est non. Car il existe un nombre, appelé nombre de Reynolds, qui caractérise l’écoulement d’air (de fluide en général) et dont va dépendre la polaire. Ce nombre caractérise l’écoulement de l’air autour d’un obstacle en général.

On définit le nombre de Reynolds Re, qui est un nombre sans unité, par :

Re = Vρ/μ

Où :

  1. V est la vitesse (ms-1) de l’air. 
  2. est une longueur de référence (en m) égale à la longueur de la corde pour une aile d’avion (ou bien la corde moyenne) 
  3. ρ la masse volumique de l’air (1,225 kg/mà 20 °C) 
  4. μ est la valeur de la viscosité (celle dont il a été question ici), exprimée en Poiseuille (m2s-1). Sa valeur est de 1,81 10-5 à 20 °C.

 

D’où :

 

Re ≈68 000 Vl

 

Un Reynolds faible implique que les forces de viscosité peuvent dominer. Un Reynolds fort suppose le contraire. On obtient donc une polaire d’aile pour chaque nombre de Reynolds (en pratique par gamme de Reynolds). Nous avons donc la même polaire pour une corde de 80 cm et une vitesse de 100 km/h ou bien une corde de 40 cm et une vitesse de 200 km/h. Pour autant, les forces de portances varieront car la surface de l’aile et la vitesse interviennent (voir équations 4 et 4’). L’avion, de vitesse double et de corde moitié (donc de surface environ moitié, à envergure égale), aura donc une portance deux fois plus forte que le précédent.

 

Schématiquement, nous obtenons la figure 22. On observe que la portance maximum est plus grande lorsque le Reynolds croît. Il en de même avec la finesse maximum.

La conclusion est la suivante : Il sera toujours préférable pour une aile d’avoir un nombre de Reynolds élevé.

 

 

 

Figure 22 – Influence du nombre de Reynolds sur la polaire

 

Les nombres de Reynolds sont donc différents d’un type d’avion à un autre.

 

(*) valeurs au décollage

 

On voit donc que si on veut faire voler le modèle réduit d’un avion de tourisme, sa polaire sera différente de l’avion réel, en raison d’un nombre de Reynolds dix fois plus faible. Prendre une polaire d’un profil donné et l’appliquer sans tenir compte du nombre de Reynolds, conduit donc à des erreurs.